Question

高二数学题 描述:设函数f(x)=x-ae^(x-1) (1)求函数f(x)单调区间 （2）若函数

高二数学题 描述:设函数f(x)=x-ae^(x-1) (1)求函数f(x)单调区间 （2）若函数f(x)≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围； 请把过程写下

Answer 1

f(x)=sinxcosx+cos(2x)=(1/2)*sin(2x)+cos(2x)=(√5/2)sin(2x+α)
α=actan2
=(√5/2)sin[2(x+α/2)]
由于y=sinx的单调增区间为[2kπ-π/2,2kπ+π/2]，单调减区间为[2kπ＋π/2,2kπ+3π/2]，（k为整数）
故：所求 函数f(x)的单调增区间为[kπ-π/4-(actan2)/2，kπ+π/4-(actan2)/2]，
单调减区间为[kπ＋π/4-(actan2)/2，kπ+3π/4-(actan2)/2]，（k为整数）

Answer 2

1. f'(x)=1-ae^(x-1)
a<=0 f'(x)>0 函数f(x)单调增区间R
a>0
f'(x)=0 1=a*e^(x-1) x-1=ln1/a x=1+ln1/a
增区间 x<1+ln1/a 减区间 x>1+ln1/a
2. f(x)≤0对x∈R恒成立， 则a>0
f极大值=fmax=f(1+ln1/a)=1+ln1/a-a*(1/a)=ln1/a<=0
1/a<=1
a>=1