Question

lim (n/（n²+1）+n/（n²+2²）+…………+n/（n²+n²））=？n趋向无穷大

Answer 1

括号中的式子可看做是黎曼和，于是可用定积分求解
因为
n/(n²+1)+......+n/(n²+n²)
=1/n[1/(1+(1/n)²)+1/(1+(2/n)²)+......+1/(1+(n/n)²)]
此可以看做1/(x²+1)对[0,1]取积分时所做的黎曼和
故原式=∫(0,1)1/(1+x²)dx=arctanx|(0,1)=π/4

Answer 2

定积分定义：极限表达式可以写为(1/(1+(1/n^2))+1/(1+(2/n)^2))+...+1/(1+(n/n)^2))*1/n，可以看成函数f(x)=1/(1+x^2)把【0 1】均分为n份，在每一个子区间上取右端点函数值做成的积分和，因此极限是积分（从0到1）f(x)dx=pi/4