Question

已知函数f（x）=alnx+x^2（a为实常数） （1）若a=-2，求证：函数F(x)在（1，+．∞)上是增函数

2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；
(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

f(x)=alnx+x^2
1 a=2
f(x)=-2lnx+x^2
导数为-2/x+2x
因为x（1，+∞）
所以-2/x<-2
2x>2
所以-2/x+2x>0
所以=f(x)在（1，+∞）上市增函数

2 导数是a/x+2x=(a+2x^2)/x
A若a>-2
y=f(x)在（1，+∞）上市增函数
所以最小值是f（1）=1
B若a<-2e^2
则(a+2x^2)/x<0
y=f(x)在（1，e）上是减函数
所以最小值是f（e)=a+e^2
C若-e^2=<a<=-2
在2x^2=a
x=根号(a/2)取最小
滴入得aln根号(a/2)+(根号(a/2))^2

3 x∈[1,e]，使得f（x）≤（a+2)x恒成立
alnx+x^2）≤（a+2)x
a(lnx-x)+x^2-2x<=0
a(x-lnx)>=x^2-2x
a>=(x^2-2x)/(x-lnx)
因为导数
（x^2-2x)/(x-lnx)=(（2x-2)(x-lnx)-(1-1/x)(x^2-2x))/(x-lnx)^2
=(2x^2-2xlnx-2x+2lnx-x^2-2+x+2x)/(x-lnx)^2
=(x^2+x+ 2lnx-2xlnx-2)
代x=1导数=0
x>1导数单调曾
所以a>=(e^2-2e)/(e-1)