Question

（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．

（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA 2 +PB 2 =PC 2 ，证明∠PQC=90°；（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．

Answer 1

（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°； ∵∠ABP=∠CBQ， ∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°； 又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形； ∴BP=PQ； ∵PA 2 +PB 2 =PC 2 ，即PQ 2 +QC 2 =PC 2 ； ∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°； （2）PA 2 +2PB 2 =PC 2 ；理由如下： 同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ= 2 PB，即PQ 2 =2PB 2 ； 由旋转的性质知：PA=QC； 在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ 2 +QC 2 =PC 2 ，即PA 2 +2PB 2 =PC 2 ； 故当PA 2 +2PB 2 =PC 2 时，∠PQC=90°．