Question

已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，﹣4），P为y轴上B点下方一点，PB

已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，﹣4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限． （1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）． 则 解 ∴直线AB的解析式为y=x﹣4． （2）作MN⊥y轴于点N． ∵△APM为等腰直角三角形，PM=PA， ∴∠APM=90°． ∴∠OPA+∠NPM=90°． ∵∠NMP+∠NPM=90°， ∴∠OPA=∠NMP． 又∵∠AOP=∠PNM=90°， ∴△AOP≌△PNM．（AAS） ∴OP=NM，OA=NP． ∵PB=m（m＞0）， ∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8． ∵点M在第四象限， ∴点M的坐标为（m+4，﹣m﹣8）． （3）答：点Q的坐标不变． 设直线MB的解析式为y=nx﹣4（n≠0）． ∵点M（m+4，﹣m﹣8）． 在直线MB上， ∴﹣m﹣8=n（m+4）﹣4． 整理， 得（m+4）n=﹣m﹣4． ∵m＞0， ∴m+4≠0．解得 n=﹣1． ∴直线MB的解析式为y=﹣x﹣4． ∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（﹣4，0）．