Question

（2014?松江区三模）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E和点F，AE、AF分别与BD相

（2014?松江区三模）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E和点F，AE、AF分别与BD相交于点M、N．（1）求证：EF∥BD；（2）当MN：EF=2：3时，求证：△AMN是等边三角形．

Answer 1

证明：（1）在菱形ABCD中，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E和点F，
∴∠AEB=∠AFD=90°．
在△ABE和△ADF中，

∠AEB＝∠AFD ∠ABC＝∠ADC AB＝AD

，
∴△ABE≌△ADF．
∴BE=DF，
又∵BC=CD，
∴

BE

BC

＝

DF

CD

，
∴EF∥BD；
（2）∵MN∥EF，MN：EF=2：3，
∴

AM

AE

＝

MN

EF

＝

2

3

．
∴

AM

EM

＝2．
∵BE∥AD，
∴

BE

AD

＝

EM

AM

＝

1

2

．
而AD=AB，∴

BE

AB

＝

1

2

．
∴∠BAE=30°．
∵AB∥CD，AF⊥CD，
∴∠BAF=90°．
∴∠EAF=60°．
∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF．
而

AM

AE

＝

AN

AF

，
∴AM=AN．
∴△AMN是等边三角形．