Question

已知函数f（x）=alnx-x2，若对区间（0，1）内任取两个不等的实数p，q，不等式f(p+1)?f(q+1)p?q＞1恒成立

已知函数f（x）=alnx-x2，若对区间（0，1）内任取两个不等的实数p，q，不等式f(p+1)?f(q+1)p?q＞1恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

∵?p，q∈（0，1），不等式

f(p+1)?f(q+1)

p?q

=

f(p+1)?f(q+1)

(p+1)?(q+1)

＞1恒成立，
f（x+1）=aln（x+1）-（x+1）²，
∴f′（x+1）=

a

x+1

-2（x+1）＞1（0＜x＜1）恒成立，
即a＞2（x+1）²+（x+1）（0＜x＜1）恒成立，
设t=x+1，1＜t＜2，
则g（t）=2t²+t=2(t+

1

4

)2-

1

8

；
∵y=g（t）的对称轴为t=-

1

4

，
∴y=g（t）在（1，2）上是单调增函数，故有g（t）＜g（2）=8+2=10，
∴a≥10，即实数a的取值范围是[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．