如图,等腰△ABC中,AB=BC,以AB为直径的半圆分别交AC、BC于D、E两点,BF与⊙O相切于点B,交AC的延长线于
如图,等腰△ABC中,AB=BC,以AB为直径的半圆分别交AC、BC于D、E两点,BF与⊙O相切于点B,交AC的延长线于点F,连接AE.(1)求证:D是AC的中点;(2)...
如图,等腰△ABC中,AB=BC,以AB为直径的半圆分别交AC、BC于D、E两点,BF与⊙O相切于点B,交AC的延长线于点F,连接AE.(1)求证:D是AC的中点;(2)若CD=CF=4,求⊙O的直径;(3)sin∠CAE=k(k>0),求CFAB的值.
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解答:(1)证明:连接DB,
∴AB是⊙O直径,
∴∠ADB=90°,
∴DB⊥AC.(2分)
又∵AB=BC.
∴D是AC的中点.(1分)
(2)解:在△ADB和△ABF中,
∵∠ADB=∠ABF=90°,∠DAB=∠FAB,
∴△ADB∽△ABF.(2分)
∴
=
,
∴
=
.(1分)
∴AB=4
(1分)
(3)解:∵∠CAE=∠CBD,
又∵∠CBD=∠ABD,
∠ABD=∠F,(2分)
∴sin∠CAE=sin∠F=k.
设AB=ak,AF=a,
由△ADB∽△ABF,
=
,得AD=ak2,(1分)
∴AC=2ak2,CF=a-2ak2;
∴
=
=
.(1分)
∴AB是⊙O直径,
∴∠ADB=90°,
∴DB⊥AC.(2分)
又∵AB=BC.
∴D是AC的中点.(1分)
(2)解:在△ADB和△ABF中,
∵∠ADB=∠ABF=90°,∠DAB=∠FAB,
∴△ADB∽△ABF.(2分)
∴
AB |
AF |
AD |
AB |
∴
AB |
12 |
4 |
AB |
∴AB=4
3 |
(3)解:∵∠CAE=∠CBD,
又∵∠CBD=∠ABD,
∠ABD=∠F,(2分)
∴sin∠CAE=sin∠F=k.
设AB=ak,AF=a,
由△ADB∽△ABF,
AB |
AF |
AD |
AB |
∴AC=2ak2,CF=a-2ak2;
∴
CF |
AB |
a?2ak2 |
ak |
1?2k2 |
k |
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