Question

已知抛物线y2=8x的准线过双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线焦点

已知抛物线y2=8x的准线过双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线焦点到渐近线距离是33．

Answer 1

∵抛物线y²=8x中，2p=8，
∴

p

2

=2，得抛物线的准线方程为x=-2．
又∵双曲线的离心率为2且一个焦点在抛物线y²=8x的准线上，
∴

c＝ a2+b2 ＝2 e＝ c a ＝2

，解之得a=1，b=

3

，c=2．
双曲线的焦点为（±2，0），渐近线方程为y=±

b

a

x即y=±

3

x，即

3

x±y=0
∴双曲线焦点到渐近线距离为d=

|±2 3 |

3+1

=

3

．
故答案为：

3

Answer 2

（1）∵双曲线c：
x2
a2
?
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
2
，
∴a=b，
∵双曲线焦点（
2
a，0）到渐近线x±y=0的距离为1，
∴
2
a
2
＝1，
解得a=b=1，
∴双曲线方程为x2-y2=1．
（2）设a1（x1，y1），b（x2，y2），
将直线y=kx+1代入双曲线x2-y2=1，得
（1-k2）x2-2kx-2=0，
因与左支交于两点，则
∴
1?k2≠0
△＝4k2+8(1?k2)＞0
x1+x2＝
2k
1?k2
＜?2
(x1+1)(x2+1)≥0
解得1＜k＜