Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0且f（-2）=0，则不等式xf（x）＜0的

设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0且f（-2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为______．

Answer 1

设g（x）=xf（x），
则g′（x）=[xf（x）]′=x′f（x）+xf′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的偶函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∵f（-2）=0，
∴f（2）=0；
即g（2）=0且g（0）=0f（0）=0，
∴xf（x）＜0化为g（x）＜0，
∵对于偶函数g（x），有g（-x）=g（x）=g（|x|），
故不等式为g（|x|）＜g（2），
∵函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∴|x|＜2且x≠0，解得-2＜x＜2且x≠0，
故所求的解集为{x|-2＜x＜2且x≠0}．
故答案为：{x|-2＜x＜2且x≠0}．