Question

如图，△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点，PA交BC于D，已知PB=3，PC=6，则PD=______

如图，△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点，PA交BC于D，已知PB=3，PC=6，则PD=______．

Answer 1

解答：解：在PA上截取PE=PB，连接BE；
∵△ABC是等边三角形，∠ACB=APB，
∴∠ACB=∠APB=60°，AB=BC；
∴△BEP是等边三角形，BE=PE=PB；
∴∠ACB-∠EBC=APB-∠EBC=60°-∠EBC；
∴∠ABE=∠CBP；
∵在△ABE与CBP中，

∠ABE＝∠CBP ∠BAE＝∠BCP BE＝BP

，
∴△ABE≌△CBP；
∴AE=CP；
∴AP=AE+PE=PB+PC．
∵PB=3，PC=6，
∴PA=6+3=9，
∵∠BAP=∠DAB（公共角），
∠ABC=∠ACB=∠APB=60°，
∴△ABD∽△APD，
∴

AB

AP

＝

BD

BP

，
∴

AB

9

＝

BD

3

，
∴BD=

1

3

AB=

1

3

AC，
∵∠PBD=∠PAC，
∠BPD=∠APC=60°，
∴△BPD∽△APC，
∴

BP

AC

＝

PD

PC

，
∴

1 3 AC

AC

＝

PD

6

，
∴PD=6×

1

3

=2．
故答案为2．