Question

已知函数f（x）=3ax-2x 2 +lnx，a为常数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1

已知函数f（x）=3ax-2x 2 +lnx，a为常数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=3x-2x 2 +lnx，则f（x）的定义域是（0，+∞） ∵ f′(x)=3-4x+ 1 x = -4 x 2 +3x+1 x = -(4x+1)(x-1) x ． ∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1； ∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数． （2）∵ f′(x)=3a-4x+ 1 x ． 若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数， 则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立． ∴ 3a-4x+ 1 x ≥0 ，或 3a-4x+ 1 x ≤0 在区间[1，2]上恒成立． 即 3a≥4x- 1 x ，或 3a≤4x- 1 x 在区间[1，2]上恒成立． 设h（x）= 4x- 1 x ， ∵h′（x）=4+ 1 x 2 ＞0 ∴h（x）= 4x- 1 x 在区间[1，2]上是增函数． h（x） max =h（2）= 15 2 ，h（x） min =h（1）=3 ∴只需3a≥ 15 2 ，或3a≤3． ∴a≥ 5 2 ，或a≤1．