Question

附加题：如图，点A1，B1，C1分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且AA1AB＝BB1BC＝CC1CA＝k，(k＞12)，若△ABC

附加题：如图，点A1，B1，C1分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且AA1AB＝BB1BC＝CC1CA＝k，(k＞12)，若△ABC的周长为p，△A1B1C1的周长为p1；求证：p1＜（1-k）p．

Answer 1

解答：证明：如图，过B₁作AC的平行线交AB于A₂，
则有

BB1

BC

＝

A2B1

AC

＝

BA2

AB

=k，
∴A₂B₁=kAC，BA₂=kAB，
∵AA₁=kAB，
∴A₁A₂=AB-AA₁-BA₂=（1-2k）AB，
在△A₁A₂B₁中，A₁B₁＜A₁A₂+B₁A₂=（1-2k）AB+kAC，
同理可得B₁C₁＜（1-2k）BC+kAB，A₁C₁＜（1-2k）AC+kBC，
∴A₁B₁+B₁C₁+A₁C₁＜（1-2k）AB+kAC+（1-2k）BC+kAB+（1-2k）AC+kBC
整理得A₁B₁+B₁C₁+A₁C₁＜（1-k）（AB+BC+CA），
即p₁＜（1-k）p．