Question

如图，在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．

如图，在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．
（1）若抛物线 y=1/4x²+bx+c经过C、D两点，求此抛物线的解析式并判断点B是否在此抛物线上．？
（2）若在（1）中的抛物线的对称轴有一点P，使得△PBD的周长最短，求点P的坐标．
（3）若点M为（1）中抛物线上一点，点N为其对称轴上一点，是否存在以点B、C、Q、M为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)圆方程：(x-3)^2+y^2=25
B(-2，0)，C(8，0)，D(0，-4)，E(0，4)
抛物线经C点：0=16+8b+c
抛物线经D点：-4=0+0+c
c=-4 b=-3/2
抛物线方程：y=1/4x²-3x/2-4
x=-2代入得：y=1+3-4=0
B在抛物线上
(2)y=1/4x²-3x/2-4对称轴：x=3
△PBD的周长最短，则P为X=3与B关于X=3的对称点与D的连线的交点
B关于X=3的对称点为：x=2*3-(-2)=8 ，y=0 即A点
AD方程：y=x/2-4
与x=3交点(3,5/2)
P(3,5/2)
(3)存在，M(3，-25/4)，N(3，25/4)

Answer 2

解：（1）由已知，得B（-2，0）C（8，0），D（0，-4）
将C、D两点代入得： {14×82+8b+c=0c=-4，
解得 b=-32，c=-4，
∴抛物线的解析式为 y=14x2-32x-4
∵ 14(-2)2-32×(-2)-4=0，
∴点B在这条抛物线上．
（2）要使△PBD的周长最短，由于边BD是定值，只需PB+PD最小，
∵点B、C关于对称轴x=3对称，
∴直线CD与对称轴x=3的交点就是所求的点P．
设直线CD的解析式为y=kx+b．将C、D两点代入，得 {8k+m=0m=-4，
解得 k=12，m=-4，
∴直线CD的解析式为 y=12x-4当x=3时， y=-52，
∴点P的坐标为（3，-2.5）．

（3）存在．
M（-7， 754），N（3， 754）或M（13， 754），N（3， 754）或M（3，- 254），N（3， 254）