Question

二次函数y=ax 2 +bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且 经过点A（1，0）和点B（0，

二次函数y=ax 2 +bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且 经过点A（1，0）和点B（0，1）．（1）试求a，b所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的 5 4 倍时，求a的值；（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将A（1，0），B（0，l）代入y=ax 2 +bx+c， 得： a+b+c=0 c=1 ， 可得：a+b=-1（2分） （2）∵a+b=-1， ∴b=-a-1代入函数的解析式得到：y=ax 2 -（a+1）x+1， 顶点M的纵坐标为 4a- (a+1) 2 4a =- (a-1) 2 4a ， 因为 S △AMC = 5 4 S △ABC ， 由同底可知： - (a-1) 2 4a = 5 4 ×1 ，（3分） 整理得：a 2 +3a+1=0， 解得： a= -3± 5 2 （4分） 由图象可知：a＜0， 因为抛物线过点（0，1），顶点M在第二象限，其对称轴x= a+1 2a ＜0 ， ∴-1＜a＜0， ∴ a= -3- 5 2 舍去， 从而 a= -3+ 5 2 ．（5分） （3）①由图可知，A为直角顶点不可能；（6分） ②若C为直角顶点，此时C点与原点O重合，不合题意；（7分） ③若设B为直角顶点，则可知AC 2 =AB 2 +BC 2 ， 令y=0，可得：0=ax 2 -（a+1）x+1， 解得：x 1 =1，x 2 = 1 a 得：AC=1- 1 a ，BC= 1 2 + 1 a 2 ，AB= 2 ． 则（1- 1 a ） 2 =（1+ 1 a 2 ）+2， 解得：a=-1，由-1＜a＜0，不合题意． 所以不存在．（9分） 综上所述：不存在．（10分）