Question

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。

Answer 1

解：（1）如图1， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F， ∴CE=CF；
（2）∠BDG=45°；
（3）分别连结GB、GE、GC（如图2） ∵AB//DC，∠ABC=120°， ∴∠ECF=∠ABC=120°， ∵FG//CE且FG=CE， ∴四边形CEGF是平行四边形， 由（1）得CE=CF， ∴□CEGF是菱形， ∴EG=EC，∠GCF=∠GCE= ∠ECF=60°， ∴△ECG是等边三角形， ∴EG=CG① ∠GEC=∠EGC=60°， ∴∠GEC=∠GCF， ∴∠BEG=∠DCG② 由AD//BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， 在□ ABCD中，AB=DC ∴BE=DC③ 由①②③得△BEG ≌△DCG， ∴BG=DG，∠1=∠2， ∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°， ∴∠BDG= （180°-∠BGD）=60°。