Question

已知函数f(x)＝ax2+2x+1 ， x≥0 ?x2+bx+c ， x＜0 是偶函数，直线y=t与函数f（x）的图象自左至右依次...

已知函数f(x)＝ax2+2x+1 ， x≥0 ?x2+bx+c ， x＜0 是偶函数，直线y=t与函数f（x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB|=|BC|，则实数t的值为7474．

Answer 1

∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
当x＜0时，-x＞0，
即f（-x）=ax²-2x+1=-x²+bx+c，
∴a=-1，b=-2，c=1，
即f（x）=

?x2+2x+1，x≥0 ?x2?2x+1，x＜0

，
作出函数f（x）的图象如图：
直线y=t与函数f（x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，
不妨是对应的横坐标分别为a，b，c，d，
则A，B关于x=-1对称，即

a+b

2

＝?1，①
∵函数是偶函数，∴c=-b，d=-a，
若|AB|=|BC|，
则B是A，B的中点，
∴

a+c

2

＝

a?b

2

＝b，②，
解得a=3b，代入①
解得b=?

1

2

，a=?

3

2

，
当b=?

1

2

，时f（b）=f（?

1

2

）=-（?

1

2

）²-2（?

1

2

）+1=2?

1

4

=

7

4

，
即t=

7

4

，
故答案为：

7

4

．