Question

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=ex．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）过原点分别作函数f（x）

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=ex．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）过原点分别作函数f（x）与g（x）的切线，且两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或1＜a＜2；（Ⅲ）求证：（1+22×3）（1+43×5）（1+85×9）…[1+2n(2n?1+1)(2n+1)]＜e（其中n∈N*，ex是自然对数的底）．

Answer 1

解答：（1）解：f′（x）=

1

x

-a（x＞0），
①当a≤0时，f'（x）＞0，增区间是（0，+∞）；
②当a＞0时，增区间是（0，

1

a

），减区间是（

1

a

，+∞）；
（2）证明：设g（x）的切点（x₁，y₁），f（x）的切点（x₂，y₂），

g′(x1)＝ex1＝ y1 x1 y1＝ex1

解得

x1＝1 y1＝e k＝e

，
∴

f′(x2)＝ 1 x2 ?a＝ 1 e ＝ y2 x2 y2＝lnx2?a(x2?1)

，
∴

1

x2

-a=

lnx2?a(x2?1)

x2

，
∴lnx₂=1-a，∴x₂=e^1-a，代入

1

x2

-a=

1

e

，得e^a-ae-1=0，
令p（a）=e^a-ae-1，p'（a）=e^a-e，
p（a）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）上递增，
当a∈（-∞，1）时，
∵p（0）=0，∴a=0；
当a∈（1，+∞）时，p（1）=-1＜0，p（2）=e²-2e-1＞0，所以1＜a＜2，
综上a=0或1＜a＜2．
（Ⅲ）证明：令h（x）=ln（1+x）-x（x＞0），则h′（x）=

1

x+1

-1＜0，
则h（x）在x＞0时为减函数，则h（x）＜h（0）=0，即有ln（1+x）＜x，
又

2n

(2n?1+1)(2n+1)

=2（

1

2n?1+1

?

1

2n+1

）
则ln{（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n?1+1)(2n+1)

]}
=ln（1+

2

2×3

）+ln（1+

4

3×5

）+ln（1+

8

5×9

）+…+ln[1+

2n

(2n?1+1)(2n+1)

]
＜

2

2×3

+

4

3×5

+…+

2n

(2n?1+1)(2n+1)

=2（

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+

1

2n?1+1

?

1

2n+1

）
=2（

1

2

?

1

2n+1

）＜1，
则有（1+

2

2×3

）（1+

4

3×5

）（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n?1+1)(2n+1)

]＜e．