Question

如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线 垂直于射线AM，垂足为点D． （1）

如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线 垂直于射线AM，垂足为点D． （1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线 与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30 0 ．求CE的长．

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Answer 1

（1）直线CD与⊙O相切（2）

解：（1）直线CD与⊙O相切。理由如下： 连接OC， ∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。 ∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM。 ∴OC∥AM。 ∵CD⊥AM ，∴OC⊥CD。 ∵OC是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切。 （2）∵∠CAB=30 0 ，∴∠COE=2∠CAB=60 0 。 ∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan60 0 = 。 （1）要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连接圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可。因此，连接CO，根据∠OCA=∠CAM，证明DC∥AD，再根据CD⊥AM，得OC⊥CD，从而证明CD是⊙O的切线。 （2）由题意得∠COE=2∠CAB=60 0 ，则在Rt△COE中应用正切函数定义即可求解。.