Question

已知，如图中，等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h 1 、h 2 、h 3 ，△ABC的高为h

已知，如图中，等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h 1 、h 2 、h 3 ，△ABC的高为h，若点P在一边BC上（如图①），此时h 3 =0，可得结论：h 1 +h 2 +h 3 =h。请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图②）、点P在△ABC外（如图③）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请简述理由；若不成立，h 1 、h 2 、h 3 与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明。

Answer 1

解：当点P在△ABC内部时，结论h 1 +h 2 +h 3 =h仍然成立。 如图，过点P作NQ∥BC，分别交AB、AC、AM于点N、Q、K， 则△ANQ仍为等边三角形，由①可知h 1 +h 2 =AK ∵NQ∥BC，KM⊥BC，PF⊥BC ∴KM=PF=h 3 ∴h 1 +h 2 +h 3 =AK+KM=AM=h 当点P在△ABC外部时，h 1 、h 2 、h 3 与h之间的关系为h 1 +h 2 -h 3 =h，如上图，证法同上。