Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平行线交⊙O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平行线交⊙O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F． （1）求证：AF⊥EF．（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论．

Answer 1

（1）首先连接OD，由EF是⊙O的切线，可得OD⊥EF，由∠BAC的平行线交⊙O与点D，易证得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC⊥BC，继而证得AF⊥EF。 （2）首先连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，继而证得AF+CF=AB。

分析：（1）首先连接OD，由EF是⊙O的切线，可得OD⊥EF，由∠BAC的平行线交⊙O与点D，易证得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC⊥BC，继而证得AF⊥EF。 （2）首先连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，继而证得AF+CF=AB。　 证明：（1）连接OD， ∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF。 ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD。 ∴ 。∴OD⊥BC。∴BC∥EF。 ∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC。 ∴AF⊥EF。 （2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD， ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BH。 ∴∠ADB=∠ADH=90°， ∵在△ABD和△AHD中， ， ∴△ABD≌△AHD（ASA）。∴AH=AB。 ∵EF是切线，∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD。∴∠EDF=∠HDF。 ∵DF⊥AF，DF是公共边，∴△CDF≌△HDF（ASA）。∴FH=CF。 ∴AF+CF=AF+FH=AH=AB，即AF+CF=AB。