Question

在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F．

在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F． （1）如图1，请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．直接写出结论．（2）若点P在DC的延长线上（如图2），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系，并证明．（3）若点P在CD的延长线上呢（如图3）？请分别直接写出结论并简要说明理由．

Answer 1

解：（1）BE=EF+DF，    （2）DF=BE+EF， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAE+∠DAF=90°， ∵BE⊥PA、DF⊥PA，  ∴∠AEB=∠DFA=90°，  ∴∠BAE+∠ABE=90°，  ∴∠ABE=∠DAF， ∵在△ABE和△DAF中： ， ∴△ABE≌△DAF（AAS），  ∴BE=AF，AE=DF，  ∵AE=AF+EF， ∴DF=EB+EF．   （3）EF=BE+DF． 证明：∵四边形ABCD是正方形，  ∴AB=AD，∠BAD=90°，  ∴∠1+∠3=90°，  ∵BE⊥PA、DF⊥PA， ∴∠AEB=∠DFA=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2， ∵在△ABE和△DAF中： ， ∴△ABE≌△DAF（AAS），  ∴BE=AF，AE=DF（全等三角形对应边相等），  ∵EF=AF+AE， ∴EF=EB+FD（等量代换）