Question

已知各项均为正数的数列{a n }的前n项和为S n ，数列 { a n 2 } 的前n项和为T n ，且 ( S n -

已知各项均为正数的数列{a n }的前n项和为S n ，数列 { a n 2 } 的前n项和为T n ，且 ( S n -2 ) 2 +3 T n =4 ，n∈N * ．（1）证明数列{a n }是等比数列，并写出通项公式；（2）若 S n 2 -λ T n ＜0 对n∈N * 恒成立，求λ的最小值；（3）若 a n ， 2 x a n+1 ， 2 y a n+2 成等差数列，求正整数x，y的值．

Answer 1

（1）因为 ( S n -2 ) 2 +3 T n =4 ， 其中S n 是数列{a n }的前n项和，T n 是数列 { a 2n } 的前n项和，且a n ＞0， 当n=1时，由 ( a 1 -2 ) 2 +3 a 1 2 =4 ， 解得a 1 =1，…（2分） 当n=2时，由 (1+ a 2 -2 ) 2 +3(1+ a 2 2 )=4 ， 解得 a 2 = 1 2 ； …（4分） 由 ( S n -2 ) 2 +3 T n =4 ， 知 ( S n+1 -2 ) 2 +3 T n+1 =4 ， 两式相减得 ( S n+1 - S n )( S n+1 + S n -4)+3 a 2n+1 =0 ， 即 ( S n+1 + S n -4)+3 a  n+1 =0 ，…（5分） 亦即2S n+1 -S n =2，从而2S n -S n-1 =2，（n≥2）， 再次相减得 a n+1 = 1 2 a n ，(n≥2) ，又 a 2 = 1 2 a 1 ， 所以 a n+1 a n = 1 2 ，(n≥1) 所以数列{a n }是首项为1，公比为 1 2 的等比数列，…（7分） 其通项公式为 a n = 1 2 n-1 ，n∈N * ．…（8分） （2）由（1）可得 S n = 1- ( 1 2 ) n 1- 1 2 =2[1- ( 1 2 ) n ] ， T n = 1- ( 1 4 ) n 1- 1 4 = 4 3 [1- ( 1 4 ) n ] ，…（10分） 若 S n 2 -λ T n ＜0 对n∈N * 恒成立， 只需 λ＞ S n 2 T n =3× 1-( 1 2 ) n 1+( 1 2 ) n =3- 6 2 n +1 对n∈N * 恒成立， ∵3- 6 2 n +1 ＜3对n∈N * 恒成立，∴λ≥3． （3）若 a n ， 2 x a n+1 ， 2 y a n+2 成等差数列，其中x，y为正整数， 则 1 2 n-1 ， 2 x 2 n ， 2 y 2 n+1 成等差数列， 整理，得2 x =1+2 y-2 ， 当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1， 等式不能成立， ∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．