Question

若关于x的方程x|x-a|=a有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是？？？（求答案和解析过程）

Answer 1

x|x-a|=a
当x大于a时，
原式可化为：x^2-ax-a=0

解得：x1=[a+√（a^2+4a）] /2
x2=[a-√（a^2+4a）] /2

当x小于a时，
原式可化为：x^2-ax+a=0

解得：x3=[a+√（a^2-4a）] /2
x4=[a-√（a^2-4a）] /2

显然要满足有三个不同的实数根，必须要以下三个条件：
1、a不等于0，否则只能有一个实数解：x=0
2、a^2-4a＞0，a^2+4a＞0
3、[a+√（a^2-4a）] /2=[a-√（a^2+4a）] /2
或者[a-√（a^2-4a）] /2=[a+√（a^2+4a）] /2
或者[a+√（a^2-4a）] /2=[a-√（a^2-4a）] /2
或者[a-（a^2-4a）] /2=[a-√（a^2+4a）] /2
。。。。。。

答案是无解

Answer 2

令f(x)=x|x-a|=a
显然a≠0，否则不会有3个不同的根。不失一般性令a>0，则f(x)为分段函数：
当x≥a时f(x)=x(x-a)=(x-a/2)^2-a^2/4；
当x<a时f(x)=x(a-x)=-(x-a/2)^2+a^2/4。
画图可知，要使x|x-a|=a有3个不同的根，就是要使y=a和该分段函数图像有3个不同交点
显然只能0<a<a^2/4，解得a>4
同理，如果一开始令a<0，则同样方法作图可知，要满足条件，只能-a^2/4<a<0，解得a<-4
综合上述：a取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞)