Question

已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n 用数学归纳法证明f(2^n)>n/2时,f(2^(k+1))-f(2^k)=?

已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n 用数学归纳法证明f(2^n)>n/2时,f(2^(k+1))-f(2^k)=?

Answer 1

n=1时，f(2)=1+1/2>1
假设当n=k时成立，下证当n=k+1时也成立
f(2^(k+1))=f(2^k)+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/(2^(k+1))
>k/2+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/(2^k+2^k)) 注：(2^k+2^k)=2*2^k=2^(k+1)
从第二项起每项都用最后一项代替
>k/2+1/2^(k+1)+1/2^(k+1)+...+1/2^(k+1)
=k/2+2^k/2^(k+1)
=k/2+1/2
=(k+1)/2
不等式成立

Answer 2

f(2^(k+1))-f(2^k) = 1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/(2^(k+1))
按照题目就是这个结果

Answer 3

1 n=1时，成立；
2假设n=k时成立则......
n=k+1时......