Question

高中数学，要详解

已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则…A:f(33)<f(50)<f(-25)B:f(50)<f(33)<f(-25)C:f(-25)<f(33)<f(50)D:f(-25)<f(50)<f(33)

Answer 1

由于f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=-f(x-4)=f(x),所以至少8是它的一个周期（不一定是最小周期，不过解这道题足够了），f(33)=f(4*8+1)=f(1),f(50)=f(6*8+2)=f(2),
f(-25)=f(-3*8-1)=f(-1)=-f(1)（是奇函数），所以f(33)<f(50)，又，f(0)=0,且在[0,2]上是增函数，所以f(1)>0,故f(1)>-f(1),所以f(-25)<f(33)<f(50).
其实这种题目一般函数形式不是固定的，所以可以自己猜一种形式，只要满足它的要求就好了，然后再逐一验证条件是不是都满足，例如这道题，知道8是一个周期且是奇函数，可以假设它是一个正弦函数，周期为8，即f(x)=sin(0.25πx),那么有两个条件满足了，再看在区间[0,2]上是不是增函数，发现也能满足，如果为保险起见，可以再验证f(x-4)=-f(x),发现f(x-4)=sin(0.25π(4-x))=sin(2π-0.25πx)=-sin(0.25πx)=-f(x)，也能够满足，所以完全可以认为f(x)=sin(0.25πx).
还有前面那位同学说周期为4是错的，因为f(3)=-f(3-4)=-f(-1)≠f(-1),所以周期不是4，最小周期应该是8.

Answer 2

因f(x-4)=-f(x)且奇函数，所以f(-25)= - f(-25-4)= - f(-29)=f(29)
-f(x)=f(x-4)，即f(x)= - f(x-4)
所以f(33)= - f(33-4)=f(29-4)= - f(25-4).........=f(1)
同理f(50)=f(2)；
f(-25)=f(29)= - f(1)
因函数在区间[0,2]上是增函数，且是奇函数，所以- f(1)<f(1)<f(2)；即f(-25)<f(33)<f(50)，C

Answer 3

根据已知条件，可知此函数为，关于原点对称的，周期为4的奇函数，再根据0——2上为增函数的性质，则可知函数各个周期区段内的增减性，f(4n+m)<f(s)<f(-4n+f) 可知答案C