Question

数列题求解！急！在线等！

已知正项数列《an》满足Sn+S(n-1)=tan^2+2（n>=2，t>0），a1=1，其中Sn是数列《an》的前n项和。 ①求通项an。②数列《1/an*a(n+1)》的前n项和为Tn，若Tn<2对所有的n属于N*都成立，求证：0<t<1。

Answer 1

解：1) Sn+S(n-1)=tan^2+2
Sn+Sn-an=tan^2+2
Sn=tan^2/2+an/2+1
S(n-1)=ta(n-1)^2/2 + a(n-1)/2 +1
Sn - S(n-1)=an=(t/2)[an^2-a(n-1)^2] +(1/2)[an-a(n-1)]
(t/2)[an^2-a(n-1)^2] -(1/2)[an+a(n-1)]=0
(1/2)[an+a(n-1)]*[t(an-a(n-1))-1]=0
∵an>0 a(n-1)>0
∴t(an-a(n-1))-1=0
an-a(n-1)=1/t
an=a2+(n-2)/t
a2=1/t
an=(n-1)/t

2) bn=1/[an*a(n+1)]=t²/[n(n-1)]=t²[1/(n-1)-1/n] n>=2
b1=t
Tn=t+t²[1-1/n]<2
∵对任意n∈N都成立
∴t²+t<2
-2<t<1
∵t>0
∴ 0<t<1

Answer 2

Sn+S(n-1)=tan^2+2（n>=2，t>0） ????