Question

高中数学一题直线与抛物线的题目（急，求解析）

直线L与抛物线y^2=4x 交于A,B两点，若向量OA乘以向量OB等于-4，AB的大小属于
[4又根号6,4又根号30]，求直线L的斜率k的取值范围。

答案是【-1，-1/2】并【1/2,1】，求解析。

Answer 1

设直线是y=kx＋b，与抛物线联立消去y，得到关于x的一元二次方程，此方程中含有k、b，则：
1、此方程的判别式大于0，得到关于k、b的不等式；
2、利用OA*OB=－4得到关于k、b的关系式；
3、利用|AB|的范围得到k、b的不等式

追问

思路我也有，我想要实际计算，说白了就是真实数据。

Answer 2

设A(x1,y1),B(x2,y2).
令直线AB为y=kx+b,与y^2=4x联立得：k^2 x^2+(2kb-4)x+b^2=0 ①,k y^2-4y+4b=0 ② .
由①得 x1+x2=(4-2kb)/k^2 ,x1x2=b^2 / k^2 ③
由②得 y1y2=4b/k ④
因为向量OA乘以向量OB等于-4，所以x1x2+y1y2=-4,
代入③④得b=-2k,用b=-2k分别检验①②的Δ＞0,易得成立.
因为AB=根号[ (k^2+1) |x1-x2| ]=根号{ (k^2+1) [(x1+x2)^2-4x1x2] },
代入③和b=-2k得AB=4根号[1/k^4 +3/k^2 +2].
又因为AB的大小属于[4又根号6,4又根号30]，
所以 4根号6≤4根号[1/k^4 +3/k^2 +2]≤4根号30，
解得k属于【-1，-1/2】并【1/2,1】。