高中数学一题直线与抛物线的题目(急,求解析)
直线L与抛物线y^2=4x交于A,B两点,若向量OA乘以向量OB等于-4,AB的大小属于[4又根号6,4又根号30],求直线L的斜率k的取值范围。答案是【-1,-1/2】...
直线L与抛物线y^2=4x 交于A,B两点,若向量OA乘以向量OB等于-4,AB的大小属于
[4又根号6,4又根号30],求直线L的斜率k的取值范围。
答案是【-1,-1/2】并【1/2,1】,求解析。 展开
[4又根号6,4又根号30],求直线L的斜率k的取值范围。
答案是【-1,-1/2】并【1/2,1】,求解析。 展开
2个回答
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设直线是y=kx+b,与抛物线联立消去y,得到关于x的一元二次方程,此方程中含有k、b,则:
1、此方程的判别式大于0,得到关于k、b的不等式;
2、利用OA*OB=-4得到关于k、b的关系式;
3、利用|AB|的范围得到k、b的不等式
1、此方程的判别式大于0,得到关于k、b的不等式;
2、利用OA*OB=-4得到关于k、b的关系式;
3、利用|AB|的范围得到k、b的不等式
追问
思路我也有,我想要实际计算,说白了就是真实数据。
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设A(x1,y1),B(x2,y2).
令直线AB为y=kx+b,与y^2=4x联立得:k^2 x^2+(2kb-4)x+b^2=0 ①,k y^2-4y+4b=0 ② .
由①得 x1+x2=(4-2kb)/k^2 ,x1x2=b^2 / k^2 ③
由②得 y1y2=4b/k ④
因为向量OA乘以向量OB等于-4,所以x1x2+y1y2=-4,
代入③④得b=-2k,用b=-2k分别检验①②的Δ>0,易得成立.
因为AB=根号[ (k^2+1) |x1-x2| ]=根号{ (k^2+1) [(x1+x2)^2-4x1x2] },
代入③和b=-2k得AB=4根号[1/k^4 +3/k^2 +2].
又因为AB的大小属于[4又根号6,4又根号30],
所以 4根号6≤4根号[1/k^4 +3/k^2 +2]≤4根号30,
解得k属于【-1,-1/2】并【1/2,1】。
令直线AB为y=kx+b,与y^2=4x联立得:k^2 x^2+(2kb-4)x+b^2=0 ①,k y^2-4y+4b=0 ② .
由①得 x1+x2=(4-2kb)/k^2 ,x1x2=b^2 / k^2 ③
由②得 y1y2=4b/k ④
因为向量OA乘以向量OB等于-4,所以x1x2+y1y2=-4,
代入③④得b=-2k,用b=-2k分别检验①②的Δ>0,易得成立.
因为AB=根号[ (k^2+1) |x1-x2| ]=根号{ (k^2+1) [(x1+x2)^2-4x1x2] },
代入③和b=-2k得AB=4根号[1/k^4 +3/k^2 +2].
又因为AB的大小属于[4又根号6,4又根号30],
所以 4根号6≤4根号[1/k^4 +3/k^2 +2]≤4根号30,
解得k属于【-1,-1/2】并【1/2,1】。
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