Question

高一函数问题的解答疑问

已知函数lg(x^2+2x+a),若函数值域为R,求a的取值范围。

在这题中，解题时说要使△=4-4a≥0来确定a的取值范围

但是，为什么△<0时不可以呢，说使△=4-4a≥0是为了取到x^2+2x+a这个函数在0到最小值之间的数，那么为什么不能假设x^2+2x+a的图象无限接近X轴呢，这样取值就不会有取不到的情况发生了

而且等价问题可得：是否有a的取值区间，使a在区间中取任意值都能使函数的值域为R
那么使△=4-4a≥0时算出的x^2+2x+a的值含负值，不就无法满足“使a在区间中取任意值都能使函数的值域为R”了吗？

还是我的理解错了？
恳求解答

Answer 1

首先 参照y=lgx(x大于0)的图像(图像很好画)可知,y=lgx(x属于R)的值域为R
因为本题中lg(x^2+2x+a)值域为R,那么只要保证x^2+2x+a能取到所有的正实数(注意这里一定不是x^2+2x+a>0恒成立,因为如果是这样的话可能会有部分实数取不到,那么这部分实数对应的y就取不到(参照y=lgx图像,x^2+2x+a的值域就是这里的x),那么题目中的函数的值域就不是R了(缺少取不到这部门))
那么.怎么保证x^2+2x+a能取到所有的正实数呢,设函数y=x^2+2x+a,因为这个函数是开口朝上的,所以保证它和x轴至少有1个交点就可以了,即△>=0,因为如果△小于0的话,y=x^2+2x+a和x轴没有交点,这样它的值域就不是所有的正实数了,这样题目中的函数的值域就不是R了(这个上面分析过了)
下面回答你的等价问题:
首先,你的等价命题是对的,但是分析有问题:
确实,△>=0时,x^2+2x+a可能为非正数,而x^2+2x+a作为真数是必须保证大于0的,如何保证?只能通过函数y=x^2+2x+a的值域x来保证,即x只取和x轴两个交点以外的部分.这是对数题的常见隐含条件
这里a是常数,x是变量 不要混为一谈.这样是可以保证 使a在区间中取任意值都能使函数的值域为R的(上面分析过了)

Answer 2

lg(z)的定义域为z>0
因此需要z=x^2+2x+a=(x+1)^2+a-1>=a-1
函数值域为R，即z必须取变大于0的所有数值
若△<0 即4-4a<0 ===》 a>1
注意到z>=a-1 ，则lgz>=lg(a-1)
则值域为(lg(a-1)，+无穷大）
比lg(a-1)更小的数就取不到了

Answer 3

先给你把题说明一下 设y=x^2+2x+a 已知函数lg（y） lg本身的值域就是R 则y=x^2+2x+a 则要让y大于0 （注意在题中隐含X取值让y不小于等于0因此不用太多讨论） y=x^2+2x+a 抛物线朝上因此要让抛物线覆盖整个y轴上半部分就可以了 及让y=x^2+2x+a与x轴有交点 使△=4-4a≥0 答案就不写了 你自己知道 现在解决你提出的问题 1你说的无限接近是极值 极值与值有很大区别 极值是无限接近 但你还是永远无法概括0到正无限的数字 你只能无限接近哪怕还有0.00000000001它也是数值 不过你的想法是对的 确实是我先接近但是你无法以现在的知识表示极值 2他只说值域是R 不用管定义域 不合理的定义域像负的直接就舍去了 只需要大于0的那一部分 不用考虑这个

Answer 4

同学，你的理解是不要合理的。这是很典型的两个问题中的一个。
该函数的值域为R,那么就是说（x^2+2x+a）的值的一个子区间是（0，+无穷）。
如何保证（x^2+2x+a）的值包含该区间呢，根据二次函数图像可知：该抛物线必须与x轴有交点。
这样就要△=4-4a≥0了。
如果是△=4-4a<=0,假设x^2+2x+a的图象无限接近X轴，那极限情况就是与x轴有一个交点了。但是你如何保证x^2+2x+a的图象无限接近X轴呢？
求出来的a的区间，都是符合情况的。只是不同的a的取值对应不同的函数定义域。题中对定义域没有要求。“△=4-4a≥0时算出的x^2+2x+a的值含负值”你可以调整x的取值，这是定义域的事情了。
另一个典型问题是已知函数lg(x^2+2x+a),若函数的定义域为R,求a的取值范围。你好好考虑这两个问题吧！

求最佳啊~~

Answer 5

x^2+2x+a的值域为（0，+无穷），方能使函数lg(x^2+2x+a)的值域为R
这就需要△=4-4a≥0

Answer 6

是你的理解错了！ 解析如下：因为对于值域为R，则使▲大于等于零，才能满足取尽一切非负数。但是如果出现你所说的▲小于零，对应地，真数并不能恒大于零，也就是无法确保取到X使值域为R.不懂追问，谢谢采纳！