Question

如图所示,△ABC是等边三角形,D在AC上,延长BC到点E,使CE=AD.求证:△BDE是等腰三角形

当点D在AC的延长线上时，△BDE还是等腰三角形吗？

Answer 1

证明：过D点作DF平行AB交BC于F，所以角ABC=角DFC，因为三角形ABC是等边三角形，所以AC=BC，角ABC=角ACB=60度，所以角DFC=角DCF=60度，所以角FDC=60度，所以角FDC=角DCF=角DFC=60度，所以DC=FC=DF,，因为AC=AD+DC AD=CE，所以EF=FC+CE=AD+DC，因为AC=BC，所以BC=EF 因为角DCB=角DFE=60度，DC=DF，所以三角形DBC和三角形DEF全等，所以BD=DE，所以三角形BDE是等腰三角形。
当点D在AC的延长线上时，三角形BDE还是等腰三角形，证明方法同上

Answer 2

在BC上找一点F，使FC=DC
连接DF
∵三角形DFC是等边三角形
∴DF=DC，角DFB和角DCF等于120°
∵△ABC和△DFC是等边三角形，CF=AD
∴BF=CE
所以△DFB与△DCE全等
∴BD=ED
∴△BDE是等腰三角形
同理，D在AC延长线上时还是等腰△

Answer 3

在BE上取点F使得FC=CD，连接DF
由于ABC是等边，所以角ACB=60度
可证DEF也是等边三角形
所以DF=DC，角DFC=角DCF=60度
所以角BFD=角DCE=120度
又AD=CE=BF
可证BFD全等于ECD
所以BD=DE
所以BDE是等腰三角形