Question

已知函数f(x)=x^2+bx+c,对任意的α，β∈R,f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0,(1) 求f(1)．(2)求证c≥3 .(3)f(sin

Answer 1

（3）若函数f（sinα）的最大值为8.求a、b的值
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(1)
取sinα=1,cosβ=-1
代入条件中分别得到：
f(1)>=0,f(1)<=0
那么f(1)=0
代入f(x)表达式得：
1+b+c=0
所以b+c=-1
(2)
根据韦达定理：
x1*x2=c
因为x1=1是其中一根，那么x2=c
只需证明x2>=3
令cosβ=1
得到f(3)<=0
又f(x)=(x-1)(x-x2)
把x=3代入得：f(3)=2(3-x2)<=0
即得x2>=3
即c>=3
(3)
∵f(sinα）≥0，f(2+cosβ）≤0
∴f(1）≥0，f(2-1）≤0
∴f(1)=0
1+b+c=0
b+c=-1
f(2+1)≤0
9+3b+c≤0
9+3(-1-c)+c≤0
c≥3
f(sinα）≤8
1-b+c≤8
1-(-c-1)+c≤8
c≤3
∴c=3
∴b=-4