Question

A,B均为N阶可逆矩阵,则A+B,AB,A*B*,(AB)^T是否可逆

麻烦给出证明，谢谢

Answer 1

1）A+B不一定可逆，如 B=-A 。
2）AB可逆。这是由于A、B均可逆，则|A|不为0，|B|不为0，所以 |AB|=|A|*|B| 也不为0，故可逆。
3）A*B*可逆。由于 |A*B*|=|A*|*|B*|=|A|^(n-1)*|B|^(n-1) 不为0，故可逆。
4）(AB)^T可逆。因为 |(AB)^T|=|B^T*A^T|=|B^T|*|A^T|=|B|*|A| 不为0 ，故可逆。

追问

第三个不是很懂，能不能再说下？谢谢啊。

追答

A*是A的伴随矩阵，满足 A*=|A|*A^(-1) (就是A逆)
所以 |A*|=|A|^(n-1) 。

Answer 2

A+B不一定可逆，由于A,B均为可逆矩阵，当通过初等变换变为等价的 比如上三角型 时，如果右下角数互为相反数，则不可逆
AB一定可逆，其逆矩阵是B的逆矩阵于A的逆矩阵的积
五角星什么意思啊？
最后一个一定可逆，其逆矩阵是B逆于A逆的积的整体的转置

追问

A*表示A的伴随阵