Question

高等数学难题:第(4)题怎么用常数变易法做出答案？不要用公式，谢谢。麻烦拍下来，准备考试了，配合下

Answer 1

dy/dx+3y=0 的解为y=Cexp(-3x)
常数变异法 设y=C(x)exp(-3x)
那么dy/dx=C'(x)exp(-3x)-3C(x)exp(-3x)
所以可得到
C'(x)exp(-3x)-3C(x)exp(-3x)+3C(x)exp(-3x)=8
C'(x)exp(-3x)=8
C'(x)=8exp(3x)
C(x)=(8/3)exp(3x)+C
y=C(x)exp(-3x)=(8/3)+Cexp(3x)
y|x=0=8/3+C=2 ==>C=-2/3
y=C(x)exp(-3x)=(8/3)-(2/3)exp(3x)

类似的第五小题
dy/dx+[(2-3x²)/x³]y=0 的通解为 y =Cx³exp(1/x²)
常数变异法设 y =C(x)x³exp(1/x²)
dy/dx+[(2-3x²)/x³]y
=C'(x)x³exp(1/x²)+3C(x)x²exp(1/x²)-2C(x)exp(1/x²)+[(2-3x²)/x³]C(x)x³exp(1/x²)
=C'(x)x³exp(1/x²)=1
C'(x)=(1/x³)exp(-1/x²)
C(x)=∫(1/x³)exp(-1/x²)dx=(1/2)∫exp(-1/x²)d(-1/x²)=(1/2)exp(-1/x²)+C
y =[(1/2)exp(-1/x²)+C]x³exp(1/x²)=x³/2+Cx³exp(1/x²)
y(1)=1/2+Ce=0 C=-1/(2e)

y =x³/2-x³/(2e)exp(1/x²)

追问

第4题齐次方程的解你怎么算的

求过程

我算到这里就不知道常数c要写成什么形式

追答

最后没写完
(-1/3)ln|y|=x+c

ln|y|=-3x-3c
y=±exp(-3x-3c)=Cexp(-3x) 其中C=±exp(-3c) 可取变所有非零的数值
另外y=0 也是解 （这个解需要在分离变量前讨论,y不等于0才能分离）
所以y的解就是Cexp(-3x) 其中C为任意常数

最后也就是最重要的：常数变异法就是将齐次解中的常数C改为函数C(x)

追问

若是把c写在上面次幂哪里想，那要怎么做？

追答

一般c是在外面的或可以换简到外面
a^(x+c)=(a^x)(a^c) a^c 看为新常数即可
要是x^(a+c)一般就没意义了也就x的任意方，基本方程就是恒等式了。