Question

f(x)=2/3x^2 （x<=1） f(x)= x^2 （x>1） 在x=1处的左导数存在，右导数不存在，为什么。

Answer 1

本题左极限 = 2/3；右极限 = 1

左右极限虽然存在，但不相等，我们仍然说，函数在该处的极限不存在。

这是因为本题在 x = 1 处不连续。 

具体见图片说明：

追问

这样就能说明左导数存在，右导数不存在了吗？？？

追答

补充：
1、左极限、右极限，是用来研究函数的连续性(Continuity)。
2、左导数、右导数，是用来研究函数的可导性(Differentiability)与光滑性(Smoothness)。
本题的左导数 = -4/3x³|(x=1) = -4/3，右导数 = 2x|(x=1) = 2
3、本题在x=1处的左导数存在，右导数存在，整体而言，在该处的导数不存在。
A、导数要存在，首先必须函数连续；
B、如果不连续，在可去型奇点时，我们仍然说，导数存在；
C、即使连续，左右导数如果不等，表示图形不光滑，也就是有尖点出现；
D、如果不连续，又不是可去型间断点，一般而言，该点导数不存在。

追问

是2/3倍的x^3

追答

你的x，原来不是-2次幂吗？求导时，-2不是要乘以2/3，变成-4/3吗？

追问

我写错了应该是f(x)=2/3（x^3）（x1） 在x=1处的左导数存在，右导数不存在

追答

好的。
那就更正如下：
如果你原题是(2/3)x³
那么左导函数 = 2x²
在x=1处的左导数值是 2
这样一来左导数、右导数都等于2，由于函数的不连续性，我们就说在该点不可导。
只说它的左导数等于右导数。
如果是可去型间断点，只要补充定义，就说可导。
本题是不可去间断点，所以在该点导数不存在。

Answer 2

虽然有点晚，但是看不下去了，简直误导人！！！！
首先f(1)=2/3,这是最重要的!!
所以右极限=[f(x)-f(1)]/(x-1)=(x^2-2/3)/(x-1)=∞！不存在
（因为(x-1)/(x^2-2/3)在x趋向于1时极限为0，所以倒数极限为∞）

Answer 3

哟极限是X2-2/3 引文F(1)等于2/3 所以有倒数不存在