Question

一道数学题：某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品……快！！

某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，再投入资金1500万元作为固定资金，已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，一年的销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量就减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年盈利（年获利=处销售额-生产成本-投资）为z（万元）．
（1）试写出z与x之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明到第一年年底，当z取最大值时，销售单价x应定为多少？此时公司是盈利了还是亏损了？；
（3）若该公司计划到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图像说明：第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

Answer 1

（1）试写出z与x之间的函数关系式 z= -(x-80)²/10 -1840
（2）请通过计算说明到第一年年底，当z取最大值时，销售单价x应定为80元.此时公司亏损了1840万元
（3）若该公司计划到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图像说明：第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？
（x-40）（20-(x-100)/10）≥1130

追问

我无论如何怎么算也算不出你这个答案啊。稍微具体一点。我第一问就跟你算的不一样！！

追答

z=（x-40）（20-(x-100)/10）-1500-500
= -(x-80)²/10 -1840

追问

那个1500要减掉的吗？？

追答

哦，不减固定资金
z=（x-40）（20-(x-100)/10）-500
= -(x-80)²/10 -340

追问

那后面两问就都要改了，您受累在算算。

追答

（1）试写出z与x之间的函数关系式 z= -(x-170)²/10 +1190
（2）请通过计算说明到第一年年底，当z取最大值时，销售单价x应定为170元.此时公司盈利了1190万元
（3）若该公司计划到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图像说明：第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？
（x-40）（20-(x-100)/10）≥1130
170+20√14≥x≥170-20√14

Answer 2

之前的错的不能再错了，没看x取任何值z永为负数么

Answer 3

解：（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少110（x-100）万件，
∴y=20-110（x-100）=-110x+30，
即y与x之间的函数关系式是y=-110x+30．

（2）由题意得：
z=（30-110x）（x-40）-500-1500=-110x2+34x-3200，
即z与x之间的函数关系是z=-110x2+34x-3200．

（3）∵当x=160时，z=--110×1602+34×160-3200=-320
∴-320=-110x2+34x-3200，
整理，得x2-340x+28800=0，
解得x1=160，x2=180．
即同样的年获利，销售单价还可以定为180元，
当x=160时，y=-110×160+30=14；
当x=180时，y=-110×180+30=12．
即相应的年销售量分别为14万件和12万件．

（4）∵z=-110x2+34x-3200=-110（x-170）2-310．
∴当x=170时，z取最大值，为-310，
即当销售单价为170元，年获利最大，并且第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资．
第二年的销售单价定为x元时，年获利为：
z=（30-110x）（x-40）-310=-110x2+34x-1510．
当z=1130时，即1130=-110x2+34x-1510，
整理得x2-340x+26400=0，
解得：x1=120，x2=220．