Question

求解一道高一物理题，貌似要微积分

飞船返回地面时，为保护返回舱内的仪器不受损坏，在1.1×10^4m高空时，飞船的降落伞打开，使飞船减速。降落伞全部打开后，若所受阻力f与速度v的平方成正比，与降落伞迎风面的横截面积S成正比，比例系数为k，即f=kSv^2。设此时返回舱的总质量为m=2X10^3 kg

我的分析：
第（2）题，很简单，直接f=mg求出v即可。
第（1）题，我郁闷了，我的思路如下
∵减速
∴f-mg=ma①
又∵f=kSv^2，a=dv/dt
∴有：kSv^2-mg=m(dv/dt)②
当飞船匀速时，v`=（mg/kS)^0.5③
联立②③式可得：v`^2-v^2=(-m/kS)(dv/dt)④
对④式，分离变量，然后两边积分，求得v与t是关系式，再把这个关系式对t微分得到加速度的表达式，但是我不会解④式这个微分方程（小弟高一新生，由于在研究物理竞赛，学了那么一点微积分，但是对④式，我求不出反导函数，而且积分上下限也不会确定，其实这题我本来是想用微元法的，不过找不到微元……）

请问各路大神，我的思路对不对？请你们给我这题的完整解答（除了点评我的思路外，一定要给出完整的解答过程，就当是你们在考试，谢谢）注意有积分的一定告诉我怎么求反导函数和怎么确定积分上下限的。
不好意思，题目没补上
（1）求返回舱降落伞完全打开至匀速运动这一过程的加速度大小的表达式，并指明加速度方向
（2）当返回舱匀速运动时，求此时速度v。

Answer 1

这个方程是一阶非齐次线性微分方程。

由于不会打有些符号，就给你截了点图。

其中一阶线性微分方程的一般式是y'+P(x)y=Q(x).

Answer 2

dv/(v^2-v`^2)其实是最基础的积分式，你把(v^2-v`^2)拆分成(v+v`)和(v-v`)，即[dv/(v-v`)-dv/(v+v`)]/(2v`)，再分别积分就好
t的积分范围是0到t
v的积分范围是v0到v

详解就算了，电脑打出来多累啊，你又不是不会算

追问

劳驾完整得解出加速度的表达式OK？谢谢大神。就算没过程，直接给个加速度最终表达式OK？

追答

算出来：
v(t)=v`*(1+f(t))/(1-f(t))
其中f(t)=(v0-v`)/(v0+v`)*exp(-2gt/2v`)
v0是大于v`的初速度
v`=（mg/kS)^0.5

Answer 3

其实你2，3式联立干吗？由2得到
kSv^2 -mg = mdv /dt
所以
mdv/(kSv^2-mg) = dt －－－－－－×
kSv^2-mg ＝ kS(v^2-mg/kS) = kS(v-根号mg/kS) (v+根号mg/kS)
mdv/(kSv^2-mg)
= dv m/kS * [1/(v-根号mg/kS) - 1/(v+根号mg/kS)] /2根号(mg/kS) 搞过竞赛，这点不难吧？
×式左右分别积分得到
m/2根号(mg/kS) ln(v-根号mg/kS)/(v+根号mg/kS) = t +C, 其中C为任意常数
[v-根号mg/kS)]/[(v+根号mg/kS ] = ce^t

追问

好吧，数学过程我看懂了，不过还没最终解呢，劳驾完整得解出加速度的表达式OK？谢谢大神。

追答

你都搞竞赛了，这么点还要我动手

Answer 4

这是高一物理，你做竞赛题是吧

追问

题目补上了，不好意思。

Answer 5

没看到题目。

追问

题目补上了，不好意思。