Question

数学分析题一道。。。已知数列递推公式，证明数列极限~

设a>0，若x_1>a^(1/p)，x_2,x_3,...由递推公式x_n+1 = (p-1)/p*(x_n)+a/p*(x_n)^(1-p)来确定，证明：lim_{n->infinity} = a^(1/p)
注：x_n里n是下标

谢谢~~！！

Answer 1

假定还有一个p>1的条件。
首先x_n>0，利用平均值不等式可得
x_{n+1} = (p-1)/p*(x_n)+a/p*(x_n)^(1-p) >= a^(1/p)，
再推出单调性
x_{n+1}-x_n = [-(x_n)+a(x_n)^(1-p)]/p <= 0，
所以x_n递减有下界，必定收敛，
直接代递推关系求出极限为a^(1/p)。