Question

初三数学题 求助

如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点F在边CB的延长线上，且BE=BF，连接EF.
(1)在图①中，若将△BEF绕点B顺时针方向旋转 α (0°<α<360°)，得到图②，是否存在某位置，使得AE∥BF?若存在，求出所有可能的旋转角 α 的大小
(2)在图①中，若将△BEF绕点B顺时针旋转 α (0°<α<90°)，得到图③，取AE的中点P，连接BP、CF，求证：BP=(1/2)CF，且BP⊥CF.

Answer 1

(1)解:满足题意的a有两个答案,即a=60°或300°。

①当点E在AB右侧时: 若AE∥BF,则∠AEB=∠EBF=90°;

又BE=AB/2,则∠BAE=30°,所以∠ABE=60°.即a=60°;

②当点E在AB左侧时:同理相似可求得:∠ABE=60°,即a=360°-∠ABE=300°.

(2)证明:延长BP到M,使PM=PB,连接AM;延长PB交CF于N.

∵PM=PB,PA=PE,∠APM=∠EPB.

∴⊿APM≌⊿EPB(SAS),AM=EB=FB;∠AMP=∠EBP.

∴AM∥BE,∠BAM+∠ABE=180°;

又∠CBF+∠ABE=360°-∠ABC-∠EBF=180°;

∴∠CBF=∠BAM;又AB=BC,AM=FB.

∴⊿BAM≌⊿CBF(SAS),BM=CF,即2PB=CF,PB=(1/2)CF;且∠ABM=∠BCF.

故:∠CBN+∠BCF=∠CBN+∠ABM=90度,得PB⊥CF.

Answer 2

⑴α=60°或300°时，AE∥BF。
理由：AE∥BF时，∠AEB=∠EBF=90°，
又BE=1/2AB，∴cosα=BE/AB=0.5，∴α=60°，
同理根据对称性可得α=300°。
⑵延长BP到Q，使PQ=BP，连接AQ、EQ
∵P为AE的中点，∴四边形ABEQ是平行四边形，∴AQ∥BE
∴∠ABE+∠BAQ=180°，由以B为顶点的周角知：∠CBF+∠ABE=180°
∴∠BAQ=∠CBF，
∵BA=BC，BE=BF，
∵△BAQ≌△CBF，∴CF=BQ=2BP，
∴BP=(1/2)CF 。 且∠ABP=∠BCF。
延长PB交CF于R，由∠ABC=90°得∠ABP+∠CBR=90°
∴∠BCF+∠CBR=90°，∴∠BRC=90°即BP⊥CF

Answer 3

1.假设有一个位置使得AE∥BF。