关于高斯公式的 ∮x3dydz+y3dzdx+z3 dxdy，其中曲面为球面x2+y2+z2=a2上半部分的外侧答案是五分之六，求详
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你的题目积分符号错了，这个是曲线积分符号。
这种题目解法很多，我取其一回答你。为了用高斯公式，先得添加一个平面z=0，取下侧，这样构成一个封闭的曲面。分别对x、y、z求偏导数后原式=3∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz （这里用球坐标积分它，也可以用轮换对称性积分它，注意不能直接将x²+y²+z²=a²代入进去，那样是错误的）=(6πaˆ5)/5
最后要减去这个添加的平面z=0 ，∫∫x3dydz+y3dzdx+z3 dxdy 由于平面z=0 向x0z面和yoz面投影时面积为0，（知道为什么∫∫x³dydz=∫∫y³dzdx=0有向投影为0吗？这是因为dydz=cosα*ds，dzdx=cosβds其中cosα,cosβ为平面z=0的方向余弦，且α=90°,β=90°）所以它们的积分值也为0，所以这个积分=∫∫0+0+z3 dxdy =∫∫z3 dxdy ，将z=0代入被积式后值也为0 .......所以原式=（6πaˆ5)/5-0 = （6πaˆ5)/5
这种题目解法很多，我取其一回答你。为了用高斯公式，先得添加一个平面z=0，取下侧，这样构成一个封闭的曲面。分别对x、y、z求偏导数后原式=3∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz （这里用球坐标积分它，也可以用轮换对称性积分它，注意不能直接将x²+y²+z²=a²代入进去，那样是错误的）=(6πaˆ5)/5
最后要减去这个添加的平面z=0 ，∫∫x3dydz+y3dzdx+z3 dxdy 由于平面z=0 向x0z面和yoz面投影时面积为0，（知道为什么∫∫x³dydz=∫∫y³dzdx=0有向投影为0吗？这是因为dydz=cosα*ds，dzdx=cosβds其中cosα,cosβ为平面z=0的方向余弦，且α=90°,β=90°）所以它们的积分值也为0，所以这个积分=∫∫0+0+z3 dxdy =∫∫z3 dxdy ，将z=0代入被积式后值也为0 .......所以原式=（6πaˆ5)/5-0 = （6πaˆ5)/5
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