Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为（根号3,0）。

若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线交于不同两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点（0，-1），求实数m的取值范围

Answer 1

∵c=2,a=√3
∴双曲线方程为x²/3-y²=1
设
CD的斜率=k，则垂直平分线的斜率=-1/k，
设C、D两点为（x1,y1),(x2,y2)，设CD中点M为(a,b)，
设平分线为L：y=-x/k+b2
因L经过（0，-1）
得b2=-1
L为y=-x/k-1

因(x12-x22)/3=(y12+1)-(y22+1)
=>(x1+x2)/3(y1+y2)=(y1-y2)/(x1-x2)=k
则a/3b=k,
又M点也在直线L上则b=-a/k-1(将k=a/3b代入）
得b=-1/4，k=-4a/3
显然M点也在直线y=kx+m上，则b=ka+m
则-1/4=-3k2/4+m
3k2=4m+1
将y=kx+m代入双曲线方程消去y
x2/3-k2x2-2kmx-m2-1=0要使方程有两实根
则4m2k2-4(-m2-1)(1/3-k2)>0
=>m2/3-k2+1/3>0
=>m2+1>3k2=4m+1
解得m>4或m<0O(∩_∩)O，希望对你有帮助

Answer 2

a^2=3，c^2=4，b^2=1。双曲线方程为：x^2/3+y^2=1。
将y=kx+m与双曲线方程联立得：(1+3k^2)x^2+6kmx+3m^2-3=0。
判别式=36k^2m^2-4(1+3k^2)(3m^2-3)>0，m^2<3k^2+1。
xM+xN=-6km/(1+3k^2)，yM+yN=k(xM+xN)+2m=-6k^2m/(1+3k^2)+2m=2m/(1+3k^2)。
MN的中点为(-3km/(1+3k^2),m/(1+3k^2))，线段MN的垂直平分线斜率为-1/k。
线段MN垂直平分线方程为y-m/(1+3k^2)=-(1/k)(x+3km/(1+3k^2))。
将点(0,-1)代入垂直平分线方程并整理得：-2m=1+3k^2>m^2，解得：-2<m<0