Question

如图，在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，过点D做DE⊥AB,过点C做CF⊥BD,垂足分别为E,F

是说明：△DEF为等边三角形

Answer 1

点F是BD的中点
a因为DC平行于AB，所以角ABD等于角CDB。（两直线平行内错角相等）
b因为BD平分角ABC，所以角ABD等于角CBD。
综合a与b，得角CDB等于角CBD，所以三角形CBD为等腰三角形。
又因为CF过顶角C垂直BD，所以CF平分BD。（等腰三角形三点共线）

(2)猜想:三角形DEF是等边三角形三角形DEF是等边三角形。
因为DC平行于AB,AD=BC，
所以梯形ABCD为等腰梯形，则角DAB=角CBA=60°，角ADC=角BCD=120°
BD平分角ABC，角CDB=角CBD，所以∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°
则∠ADB=∠ADC - ∠BDC=120° - 30°=90°
因为DE垂直于AB，所以∠ADE=90° - ∠DAB=90° - 60°=30°
所以∠EDF=∠ADB - ∠ADE=90° - 30°=60°

在△DBE中，∠EBD=30°，∠BED=90°
所以DB=2DE。又因为2DF=2FB=BD(第一问已证)，所以DF=DE

在△DEF中，∠EDF=60°（已证），DF=DE（已证），所以△DEF为等边三角形。

Answer 2

证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD= 12∠ABC=30°，
∵DC∥AB，
∴∠BDC=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵CF⊥BD，
∴F为BD的中点，
∵DE⊥AB，
∴DF=BF=EF，
由∠ABD=30°，得∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形．

Answer 3

证明：在梯形ABCD中，因为 AB//DC，AD=BC，QE =60度
所以 角ABC=角A=60度，角ADC=角CDA=120度
因为 BD平分角ABC
所以 角CBD=角ABDF=30度
因为 AB//DC
所以 角CDB=角ABD=角CBD=30度
所以 CD=CB
因为 CF垂直于BD于F
所以 点F是BD的中点
因为 DE垂直于AB于E
所以 EF=BD/2=DF
又因为 角ABD=30度
所以 角EDF=60度
所以 三角形DEF是等边三角形。

Answer 4

证明：在梯形ABCD中，因为 AB//DC，AD=BC，QE =60度
所以 角ABC=角A=60度，角ADC=角CDA=120度
因为 BD平分角ABC
所以 角CBD=角ABDF=30度
因为 AB//DC
所以 角CDB=角ABD=角CBD=30度
所以 CD=CB
因为 CF垂直于BD于F
所以 点F是BD的中点
因为 DE垂直于AB于E
所以 EF=BD/2=DF
又因为 角ABD=30度
所以 角EDF=60度
所以 三角形DEF是等边三角形。

Answer 5

证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，
∵DC∥AB，
∴∠BDC=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∵CF⊥BD，
∴F为BD的中点，
∵DE⊥AB，
∴DF=BF=EF，
由∠ABD=30°，得∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形．