Question

已知复数z满足2（z+z的共轭复数）=z*z的共轭复数+3，求

1，复数z在复平面上对应的点所表示的曲线方程
2，丨z丨的最大值与最小值

Answer 1

1，
设z=x+yi,则复数z对应的点为(x,y),z的共轭复数=x-yi,
2(z+z的共轭复数)=z*z的共轭复数+3
即为2(x+yi+x-yi)=(x+yi)(x-yi)+3
即4x=x^2+y^2+3
即(x-2)^2+y^2=1
∴复数z在复平面上对应的点所表示的曲线方程为(x-2)^2+y^2=1

2，
丨z丨^2=x^2+y^2=4x-3,
由第一问知x∈[1,3]
∴丨z丨^2∈[1,9]即丨z丨∈[1,3]
∴丨z丨的最大值与最小值分别为3和1

P.S.也可以画图做，复数z在复平面上对应的点所表示的曲线为圆心为(2,0)，半径为1的圆，
圆上一点到原点O的距离为丨z丨
可以看出(1,0)到O的距离最短，为1；(3,0)到O的距离最长，为3
∴丨z丨的最大值与最小值分别为3和1

Answer 2

设Z=A +jB，则Z的共轭为A-jB。
2（z+z的共轭复数）=4A
z*z的共轭复数+3=A^2+B^2+3
复数z在复平面上对应的点所表示的曲线方程为（A-2）^2+B^2=1，为圆心在（2，0）半径为1的圆
由图像性质很容易得出：丨z丨的最大值为3，最小值为1