Question

设f(t)为可导函数，且f(0)=0,求极限lim t→0+ 1/πt^3∫∫d(√(x^2+y^

Answer 1

使用极坐标来替换
令x=rcosθ,y=rsinθ
带入
∫∫f(√(x^2+y^2)dxdy=∫∫f(r)*rdrdθ
=∫（0,2π）dθ∫（0, t）f(r)*rdr
=2π∫（0, t）f(r)*rdr
则 lim1/(πt^3)∫∫f(√(x^2+y^2)dxdy
=lim2π∫（0, t）f(r)*rdr/(πt^3)
=lim2∫（0, t）f(r)*rdr/t^3
t→0时， 属于0/0型，使用罗比塔法则，上下求导
=lim2f(t)*t/(3t^2)
=lim2f(t)*/3
因f(0)=0, 仍属于0/0型，使用罗比塔法则，上下求导
=lim2f'(t)*/3
所以原式=2f'(0)*/3

Answer 2

为什么
∫（0,2π）dθ∫（0, t）f(r)*rdr
=2π∫（0, t）f(r)*rdr里∫（0,2π）dθ=啊2π