Question

已知数列{An}的前n项和为Sn,A1=A2=1,bn=nSn+（n+2)An,数列{bn}是公差为d的等差数列，

证（A1A2.....An)(S1......Sn)<2的2n+1次方除以（n+1)(n+2)

Answer 1

易知b1=4，b2＝8，因此bn＝4n，得4＝sn+(n+2)/n*a(n)=sn+(n+2)/n*(sn-s(n-1))，因此sn＝(n+2)/(2n+2)*s(n-1)+2n/(n+1)，易用归纳法证明sn<4。再由(n+2)/n*a(n)=4-sn>0知an>0。注意到s4=13/4>3，于是sn>3，当n>=4时，故an<n/(n+2)，因此ansn<4n/(n+2)，当n>=4时。此不等式可以验证对n＝1 2 3也成立。于是利用归纳法可以证明结论成立：当n＝1时结论不等式成立，若对n－1成立，则对n有(a1...an)(s1...sn)<2^(2n-1)/[n(n+1)] *(ansn)<2^(2n-1)/[n(n+1)] *4n/(n+2)=2^(2n+1)/[(n+1)(n+2)]

Answer 2

b1=a1+3a1=4a1=4
b2=2(a1+a2)+4a2=4+4=8
d=b2-b1=8-4=4
bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n
bn=4n

Answer 3

43545

Answer 4

355