Question

高三数列

已知数列an,bn中，a1=0,b1=1,且当n为正整数时，an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列。
1. 求数列an,bn的通项公式
2. 求最小自然数k，使得当n≥k时，对任意实数p∈【0,1】，不等式（2p-3）bn≥（2p-4）an+(p-3)恒成立
3. 设dn=1/√b1+1/√b2+••••••+1/√bn(n为正整数)，求证：当n≥2都有dn^2＞2（d2/2+d3/3+••••••+dn/n）

Answer 1

1、数学归纳法证明an=n(n-1)，bn=n^2；
2、代入bn an的表达式化简得（2n-1）p+n^2-4n+3>=0，要求对所有的p成立，此表达式是关于p的一次函数，只要在两个端点成立即可，即p=0 p=1时不等式成立就行，因此有n^2-4n+3>=0，n^2-2n+2>=0，于是n>=3。取k=3就可以。
3、dn=1/1+1/2+...+1/n，注意到1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<1/(1*2）+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]=1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n=1-1/n<1，于是d1^2>1/2^2+...+1/n^2，即(d2-1/2)^2>1/2^2+...+1/n^2，打开得d2^2>2(d2/2)+1/3^2+...+1/n^2，即(d3-1/3)^2>2(d2/2)+1/3^2+...+1/n^2，打开得d3^2>2(d2/2+d3/3)+1/4^2+...+1/n^2，继续下去得(dn-1/n)^2>2(d2/2+...+d(n-1)/(n-1))+1/n^2，打开就是dn^2>2(d2/2+...+dn/n)

Answer 2

好难哦。。