Question

已知0<n<m ，且a、b均为正数，求证：n√[(a^n+b^n)/2] ≤ m√[(a^m+b^m)/2] 根号前面的n是开n次方根。

如题，当且仅当a=b时，等号成立。

这个式子是我从基本不等式中算数平均数小于等于加权平均数中类比出来的，我验证过很多数都成立，但是不知道怎么能证明。
辛苦各位了，看得我烟花缭乱，云雾袅绕.....

Answer 1

令y=x√[﹙a^x+b^x﹚/2] 求出这个函数的单调性，然后就应该可以做了吧

追问

.....这个，怎么验证呢？

追答

额~不是验证~是求

追问

那怎么求呢？求导么？貌似求导有难度...

追答

把函数y写成e^[1/x×ln[(a^x+b^x)/2]
求导结果是：[1/x×2/(a^x+b^x)-1/x²×ln[(a^x+b^x)/2]]×e^(1/x×ln(a^x+b^x)/2)

追问

看得有点不清楚...是A、B哪一个？为什么要这样呢？
那个求导的结果就更看不清楚了......
如果是对ln[(a^x+b^x)/2] 求导，应该是(lna*a^x+lnb*b^x)/(a^x+b^x)，为什么在结果中没有见到类似的结构？难道是化简掉了？

追答

A,B都不是，是e的[(1/x)乘ln(a^x+b^x)/2]

Answer 2

设n√[(a^n+b^n)/2]=A，m√[(a^m+b^m)/2] =B，则[(a^n+b^n)=2A^n，(a^m+b^m)=2B^m
因为0<n<m，所以a^n+b^n<a^m+b^m
得到2A^n<2B^m
即A^n<B^m,
两边同时开根号n，得到 A<B^（m/n）
由于m/n>1，若要不等式成立 只有A≤B时才成立
即证n√[(a^n+b^n)/2] ≤ m√[(a^m+b^m)/2]

追问

“因为0<n<m，所以a^n+b^n<a^m+b^m 。”
这句有点问题啊，如果a=0.5 b=0.25 不就过来了么？这是和a b m n 的值有关的。

还有，你的“即证”不就是我的题目么？

追答

即正就是得到证明
针对第一个问题，我补充一下 是我一时疏忽， 到第二行的时候 分情况讨论一下，
第一种情况0B^（m/n）
因为m/n>1 要想不等式成立 必须A≤B
第二种情况 a，b>1。就是我原来写的

Answer 3

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