已知0<n<m ,且a、b均为正数,求证:n√[(a^n+b^n)/2] ≤ m√[(a^m+b^m)/2] 根号前面的n是开n次方根。
如题,当且仅当a=b时,等号成立。这个式子是我从基本不等式中算数平均数小于等于加权平均数中类比出来的,我验证过很多数都成立,但是不知道怎么能证明。辛苦各位了,看得我烟花缭...
如题,当且仅当a=b时,等号成立。
这个式子是我从基本不等式中算数平均数小于等于加权平均数中类比出来的,我验证过很多数都成立,但是不知道怎么能证明。
辛苦各位了,看得我烟花缭乱,云雾袅绕..... 展开
这个式子是我从基本不等式中算数平均数小于等于加权平均数中类比出来的,我验证过很多数都成立,但是不知道怎么能证明。
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因为0<n<m且a、b均为正数
y=x√[﹙a^x+b^x﹚/2] 是否单调递增
x=1 y1=(a+b)/2
x=2 y2=((a^2+b^2)/2)^1/2
x=3 y3=((a^3+b^3/2)^1/3
.....
y1<y2<y3....<yn
y=x√[﹙a^x+b^x﹚/2] 单调递增得证n√[(a^n+b^n)/2] ≤ m√[(a^m+b^m)/2]
y=x√[﹙a^x+b^x﹚/2] 是否单调递增
x=1 y1=(a+b)/2
x=2 y2=((a^2+b^2)/2)^1/2
x=3 y3=((a^3+b^3/2)^1/3
.....
y1<y2<y3....<yn
y=x√[﹙a^x+b^x﹚/2] 单调递增得证n√[(a^n+b^n)/2] ≤ m√[(a^m+b^m)/2]
更多追问追答
追问
从x=1 x=2 x=3 三条式子如何推出y1<y2<y3<...<yn ?求解释....
这也不符合数学归纳法啊。
追答
y1=(a+b)/2=((a+b)^2/4)^1/2
y2=((a^2+b^2)/2)^1/2 (a^2+b^2)/2-(a+b)^2/4=(2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab)/4=(a-b)^2/4=>0
y2>y1
同理Y3>Y2
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f(x)=x^{m/n}(x非负),求导数易知,f是凸函数,所以f((x+y)/2)≤(f(x)+f(y))/2。令x=a^n,y=b^n即可。
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设f(x)=x√[(a^x+b^x)/2],然后取log,然后求导,证明单调性即可
快加分吧,我把这题秒了
快加分吧,我把这题秒了
追问
那你看看我求的对不对?接下来怎么证单调性呢?
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y=x*sqrt((a^x+b^x)/2);
dydx =
1/2*(2*a^x+2*b^x)^(1/2)+1/4*x/(2*a^x+2*b^x)^(1/2)*(2*a^x*ln(a)+2*b^x*ln(b))
显然dydx>0
dydx =
1/2*(2*a^x+2*b^x)^(1/2)+1/4*x/(2*a^x+2*b^x)^(1/2)*(2*a^x*ln(a)+2*b^x*ln(b))
显然dydx>0
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y=x√[﹙a^x+b^x﹚/2] 单调递增得证n√[(a^n+b^n)/2] ≤ m√[(a^m+b^m)/2]
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