Question

已知0<n<m ，且a、b均为正数，求证：n√[(a^n+b^n)/2] ≤ m√[(a^m+b^m)/2] 根号前面的n是开n次方根。

如题，当且仅当a=b时，等号成立。

这个式子是我从基本不等式中算数平均数小于等于加权平均数中类比出来的，我验证过很多数都成立，但是不知道怎么能证明。
辛苦各位了，看得我烟花缭乱，云雾袅绕.....

Answer 1

你的类比简单却挺妙，是正确的！既然那么多人说求导，那我就求导好了。log（A）e表示以A为底的e的对数。
证明：1：设f(n)=n√[(a^n+b^n)/2],令x代替n,设b/a=A>0,则 f(x)=a·x√[(1+A^x)/2]，（x>o） 故令g(x)=x√[(1+A^x)/2]，导出g(x)单调性即可知道f(x)单调性。
2：要把指数（1/x）去掉，就对g(x)取自然对数，于是有：lng(x)=1/x·ln[(1+A^x)/2]. 设 y=1/x·ln[(1+A^x)/2]. 则y的单调性与g(x)单调性相同.
3：对y求导有： y'=A^x·log(A)e/(1+A^x)·x-ln[(1+A^x)/2]/x^2={x·A^x·log（A）e-(1+A^x)·ln[(1+A^x)/2]}/(1+A^x)·x 明显y'中分母(1+A^x)·x大于0，故只需判断分子符号.故对分子继续求导.
4：令t(x)=x·A^x·log（A）e-(1+A^x)·ln[(1+A^x)/2], 对t(x)求导，有：t'(x)=x·A^x·[log（A）e]^2-A^x·log（A）e·ln[(1+A^x)/2]=A^x·log（A）e{x·log（A）e-ln[(1+A^x)/2]}，
5：欲判断t'(x)是否恒大于0，还需对log（A）e{x·log（A）e-ln[(1+A^x)/2]}求一次导，
6：设k(x)=x·log（A）e^2-ln[(1+A^x)/2]·log（A）e，k'(x)=log（A）e^2-log（A）e^2·A^x/1+A^x=log（A）e^2·{1-[A^x/1+A^x]}，明显{1-[A^x/（1+A^x）]}大于0，故k'(x)符号与log（A）e^2相同.即k'（x）恒大于或等于0，且k'(x)=o时，A=1，此时将A=1代入k(x)，K(x)取的最小值0，即k(x)为恒增加函数.且k(x)恒大于或等于0
7：又因为t'(x)=x·k(x)，x>0,所以t'(x)恒大于或等于0，t(x)为恒增加函数，
8：重点： 当t'(x)=0时，t(x)取得最小值。且最小值为A=1时取得，此时将A=1代入t(x),t(x)=0， 即y'最小值也为0，故y为恒增加函数.
结论：一： 当log(A)e=0时，即 A=1→a=b时，y为常数函数，即y值恒定。g(x)恒定。此时就是等号成立条件。
二：log(A)e不等于0时，即A不等于1时，函数y为增函数。g(x)为增函数。 假设命题得证。
若有什么问题，哪里有疑惑请尽管找我。

追问

非常感谢，我已经认真地看过了，又推算了一遍，有两处和你的不太一样，你帮我看看吧.....
你说除了求导还有其它的方法？

Answer 2

y=x*sqrt((a^x+b^x)/2);

dydx =

 

1/2*(2*a^x+2*b^x)^(1/2)+1/4*x/(2*a^x+2*b^x)^(1/2)*(2*a^x*log(a)+2*b^x*log(b))

图片是a=3 b=5的情况

显然dydx>0

Answer 3

由于a和b的地位是对称的，不妨假设b>=a>0. 命题转化为证[(1+(b/a)^m)/2]^(1/m)>=[(1+(b/a)^n)/2]^(1/n). 进一步转化为(1/m)*log[(1+(b/a)^m)/2]>=(1/n)*log[(1+(b/a)^n)/2]. 如果令A=b/a(>=1),则化为(1/m)*log[(1+A^m)/2]>=(1/n)*log[(1+A^n)/2]. 令f(A)=(1/m)*log[(1+A^m)/2]-(1/n)*log[(1+A^n)/2], 则f'(A)=[1/(1+A^n)-1/(1+A^m)]/A>=0,由此推出f(A)在A>=1上为单调增函数。
故f(A)>=f(1)=0,又此可证得不等式。而最小值在A=1时取得，即在a=b时等号成立。

Answer 4

f=(a^x+b^x)^(1/x)，求f'（导函数）证明其在(0,正无穷）上大于0即可。
具体的求导方法，记I=(a^x+b^x)^(1/x)，两边去对数，ln I =(1/x)*ln（ (a^x+b^x)）。
两边同时求导，右边的自己算，左边是I' / I 。 将I乘到右边就可以求出I'了。
非常常规的处理办法，楼主演算后可以采纳。

追问

求导我会，但是单调性不会证啊..

追答

导函数在零到正无穷上大于零就是单调递增的充分条件。。。

追问

.....汗，我又不是不知道。
怎么证恒大于零？

Answer 5

可以构造一个函数：
f=(a^x+b^x)^(1/x)
然后用求导的方法证明它是增函数，
就可以证明上述不等式。