Question

已知函数f(x)=2x^3+px+r,g(x)=15x^2+qInx (p,q,r∈R)

1、当r=-35时，f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线，求p,q的值
2、已知函数h(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极大值-13，在x=x1和x=x2 (x1不等于x2) 处取得极小值，求(x1+x2)/x1x2的取值范围。

Answer 1

已知函数f(x)=2x³+px+r,g(x)=15x²+qInx (p,q,r∈R)
1、当r=-35时，f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线，求p,q的值
2、已知函数h(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极大值-13，在x=x₁和x=x₂(x₁≠x₂) 处取得极小值，求(x₁+x₂)/x₁x₂的取值范围。
解：1。f′(x)=6x²+p，f′(1)=6+p，f(1)=2+p+35=37+p，故过f(x)上的点(1，37+p)的切线方程为：
y=(6+p)(x-1)+37+p..........(1)
g′(x)=30x+q/x，g′(1)=30+q，g(1)=15，故过g(x)上的点(1，15)的切线方程为;
y=(30+q)(x-1)+15...........(2)
(1)和(2)是同一条直线，∴6+p=30+q，即有q=p-24.........(3)；37+p=15，故p=-22；q=-46
此时(1)和(2)变成同一条直线：y=-16(x-1)+15=-16x+31.
2。h(x)=f(x)-g(x)=(2x³+px+r)-(15x²+qlnx)=2x³-15x²+px-qlnx+r
令h′(x)=6x²-30x+p-q/x=0..........(4)
已知h′(1)=6-30+p-q=-24+p-q=0，故p-q=24............(5)
h(1)=2-15+p+r=-13+p+r=-13，故p+r=0.........(6)
由(4)得6x³-30x²+px-q=0，x=1是其根，故配方得：
6x³-30x²+px-q=6x²(x-1)-24x(x-1)-(24-p)(x-1)+p-24-q=(x-1)(6x²-24x-24+p)=0(∵p-q-24=0)
于是得6x²-24x-24+p=0.........(7)
(7)有相异二实根，故其判别式Δ=576-24(-24+p)=1152-24p>0，即有p<1152/24=48
x₁和x₂是方程(7)的根，故由韦达定理得：x₁+x₂=4，x₁x₂=(p-24)/6；
∴(x₁+x₂)/x₁x₂=24/(p-24)，由于p<48，p-24<24，1/(p-24)>1/24，故24/(p-24)>1,
即(x₁+x₂)/x₁x₂>1.

Answer 2

切线的斜率根本不存在！切线方程为：X=1