Question

高数，定积分，求弧长的过程。。

Answer 1

求阿基米德螺线ρ=aθ在0≦θ≦2π时的弧长L；

追问

sec3次方那个地方是怎么积分的？

关键是想看这个

再说，arctan2兀是0啊

追答

【arctan2兀是0啊】谁教给你的？tan2π=0，但arctan(2π)≠0.

2π≈6.28;  arctan2π=arctan6.28=80.952428°≠0；

设α=arctan2π，那么tanα=2π；∴sec(arctan2π)

=secα=√(1+4π²)=√(1+39.4)=√40.4=6.35

或sec80.95248°=1/cos80.95248°=1/0.1572=6.35;

【下面用鼠标点一下，就看得清了】

Answer 2

极坐标下弧长的积分公式为∫√(r^2+r'^2)dθ，其中r'是r的导数
r=aθ，r'=a，积分为a∫√(θ^2+1)dθ
积分挺麻烦的，用θ=tant代入换元之类的（等会看看能不能补充）
结果是a[θ√(θ^2+1)/2+ln(θ+√(θ^2+1))/2]，把2π和0作为上下限代入即可

Answer 3

let
θ = tanu
dθ = (secu)^2 du
∫ √(1+θ^2) dθ
=∫ (secu)^3 du
=∫secu dtanu
=secu.tanu - ∫(tanu)^2.secu du
=secu.tanu - ∫[(secu)^2-1].secu du
2∫ (secu)^3 du = secu.tanu + ∫secu du
∫ (secu)^3 du
= (1/2)[secu.tanu + ln|secu+tanu| ] + C
= (1/2)[θ.√(1+θ^2) + ln|√(1+θ^2)+θ| ] + C
a∫（0->2π) √(1+θ^2) dθ
=a[ (1/2){θ.√(1+θ^2) + ln|√(1+θ^2)+θ| } ] |（0->2π)
=a{ (1/2)[2π.√(1+4π^2) + ln|√(1+4π^2)+2π|] }
=a [π.√(1+4π^2) + (1/2)ln|√(1+4π^2)+2π| ]

Answer 4

Answer 5

希望有所帮助

追问

虽然有点乱。。

请问大神，圈1为什么有负号？